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一个近世代数的问题。明天考试会考。

问题:设R为含幺环,求证:对任意a,b∈R,若1-ab可逆,则1-ba也可逆。

分析:
我们知道,证明问题的方法大致可以分为两类:构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法,找出符合命题要求的元素(在这道题中,就是找到1-ba的逆元)。后者则只证明这样的元素必然存在,但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。
无论打算采用是哪种证明方法,确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。
就这道题而言,我们可以使用这些前提:
1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群(从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等),R对乘法构成独异点(从而可以使用乘法单位元1),当然还有乘法对加法的分配律。
2、1-ab是可逆的,这就是说,存在c∈R,使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到:cab=abc=c-1。

需要注意的是:
1、在题设中没有假设R的可换性(事实上,如果R可换的话,整个问题就没有任何难度了),也没有假设a、b是可逆的。所以,在解题时,不能使用乘法交换律,也不能随便使用a、b的逆元(除非已经证明了它们的存在性)。
2、如果没有1-ab可逆这个条件,肯定是推不出1-ba可逆的(我们在环中可以找到太多的反例)。所以,cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子,我们注意到,它提供了在c的参与下,移动和消去ab的方法。

我们的目的是,证明存在这样的一个元素d∈R,满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。
初看到这道题,我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。
不过推理一下我们可以发现,如果要使用反证法的话,我们需要反设1-ba不存在乘法逆元,然后由此推出1-ab也不可能有逆元(或者推出R不是含幺环)。
但反设1-ba不存在乘法逆元后,我们到底能推出哪些结论来呢?似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R,必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明(因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”,并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”)。
另一方面,利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。
这时,我们可以“取巧”了。注意到:
1、如果我们相信题目给的命题没有错的话,我们只要找到1-ba的左逆元(或者右逆元)就基本完成任务了(虽然最终书写证明时,我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元)。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话,它的左右逆元是唯一且相等的(所以,1-ba确实可逆,而我们又找到了它的一个左逆元x,那么这个x自然也是1-ba的右逆元)。
2、不要指望证明c本身也是1-ba的逆元。因为假如是这样的话,(1-ab)和(1-bc)就都是c的逆元,由逆元的唯一性可知,1-ab=1-ba,利用消去律,我们可以得到ab=ba。这就说,在这个环里,只要1-ab有逆元,a和b就是可换的。这个符合“含幺环R”的一般情况吗?显然不符合。比如,由所有实矩阵对矩阵加法和矩阵乘法组成的环,它是含幺环。但只要|a|·|b|≠1,1-ab就可逆,但这样的矩阵都可换吗?显然不是的。这就说明,即使1-ab的逆元c存在,1-ba的逆元(如果存在的话)也未必是c。
3、我们前面看到,在这道题中,c的存在性是1-ba可逆的一个不可缺少的条件,但c本身并不一定就是1-ba的逆元(仅当ab=ba时,c是1-ba的逆元)。那么,1-ba的逆元应该是一个与c有某种关系的元素。
根据这些线索,我们来寻找1-ba的乘法逆元(不妨先寻找左逆元)。
前面已经提到,cab=abc=c-1应该是解题的一个关键。那么,如果要使用它,就得用一个式子(不妨记为X)与(1-ba)相乘,使得它们的乘积中出现包含cab或者abc的项。
因为 X(1-ba) = X – Xba。我们很容易看出,如果X中有以ca结尾的项(不妨记作Yca),那么就可以得到 Ycaba 这样的项,而这个项可以换成 Yabca 或 Y(c-1)a。这些式子也许有助于我们消掉那些不需要的项。
这样,我们不妨设 X = (Yca + Z),其中Y和Z分别是两个式子(注意到,这样的假设是具有一般性的,任何含有以ca结尾的项的式子都能写成Yca+Z的样子)。
看看这样乘出来的式子是什么样的:
X(1-ba) = (Yca + Z)(1 – ba)
= Yca + Z – Ycaba – Zba
= Yca + Z – Y(c-1)a – Zba
= Yca + Z – Yca + Ya – Zba
= Z – Zba + Ya
好了,现在我们得到一个当 X = (Yca + Z) 时,乘积的一般形式,如果能给Y和Z适当的值,使得Z – Zba + Ya = 1,那么相应的X就是我们要找的逆元了。
我们发现,要想把Zba消掉,Ya就应该也以ba结尾。看到这里,结果已经很明显了,令Y=b,Z=1,则 Z – Zba + Ya = 1 – ba + ba = 1。
这就是说,我们已经发现,当 X = (bca + 1) 时,X(1-ba)=1。这样的X就是1-ba的左逆元了。
证明X是右逆元的工作是简单的,和前面这段推导一样,只需利用等式abc = c-1就可以了。
写在答题纸上的证明只不过是后面那小小的一段:
(bca+1)(1-ba) = bca+1-bcaba-ba
= bca+1-b(c-1)a-ba
= bca+1-bca+ba-ba
= 1
(1-ba)(bca+1) = bca-babca+1-ba
= bca-b(c-1)a+1-ba
= bca-bca+ba+1-ba
= 1

而寻找bca+1的过程才是解题的关键。

总结一下我们的思路:
1、我们得到一些已知条件,需要找到一个未知的、满足某种特定条件的元素d。
2、整理出我们可以使用的条件和不可以使用的条件(在抽象代数里要特别注意“不可以使用的条件”。因为抽象代数里常常使用以往算术运算中的符号,使人容易不自觉地使用一些在实数域上成立,但在其它代数系统上未必成立的性质和原理)。
3、找到一些重要的等式,把它们变形为容易利用的形式(通常一边是一个单项,这样才方便在等式中代换)。
4、写出待求元素的一般形式,考虑如何在其中利用我们在第3步找出的等式。
5、根据推导的结果,确定待求元素的具体形式。
6、证明结果的正确性。
抽象代数中许多构造性证明都可以按这一思路进行。
从这里也可以看出,虽然抽象代数中绝大多数题都是证明题,但在大多数情况下,观察、分析和试探仍然是解决问题的关键所在。

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